INTRODUCCIÓN
Ya se que estas maquetas no se corresponden con instrumentos astronómicos antiguos, pero voy a aprovecharlas para hacer alguna reflexión más sobre las órbitas de los astros e incluso rozar algo el mundo de la cosmología.
Fue después de un viaje a Barcelona, de ver la Sagrada Familia, el parque Güell y otras obras de Gaudí, que empecé a pensar en hacer unos modelos de superficies regladas alabeadas. He de comentar que allí compré un libro estupendo: «Disfrutar de la naturaleza con Gaudí y la Sagrada Familia» de Jordi Cussoi Anglés, Editorial Milenio, 2010; trata sobre la inspiración geométrica que Gaudí encontró en la naturaleza que le rodeaba.
En el pasado ya hiciera dos paraboloides hiperbólicos, uno doble de hilo con mi padre mientras estudiaba la carrera de Arquitectura en A Coruña (bueno lo hizo más él que yo, je, je,…pero algo se me debió de pegar) y otro con un método que me enseño un alumno haciendo dobleces de 0,5 cm en un folio.
Cuando hablamos de secciones cónicas siempre echamos mano de la superficie más sencilla que es el cono, pero si seccionamos estas superficies regladas alabeadas también obtenemos cónicas; en concreto, el hiperboloide hiperbólico nos permite obtener todas las secciones cónicas igual que en el cono. Ya en 1826 Dandelín extendió el uso de sus esferas para calcular los focos de las cónicas (esferas de Dandelín) al hiperboloide hiperbólico.
Justo después, a partir de 1830 se desarrollan las geometrías no euclideas, el 5º postulado de Euclides sobre las paralelas es puesto en tela de juicio con Lobachevsky, Bolyai, Gauss (ya familiarizado con la geometría elíptica por sus contribuciones geodésicas, sus estudios previos de la geometría hiperbólica no los publicó) y su discípulo Riemann dando lugar a diferentes geometrías. Si hacemos dos perpendiculares a una línea, en la geometría plana o euclídea permanecerán paralelas, en la geometría elíptica acabaran cortándose y en la geometría hiperbólica divergerán. Los ángulos de un triángulo esférico o elíptico suman más de 180º, los de un triángulo hiperbólico menos de 180º.
En el siglo XIX se elaboran algunos modelos de cuerdas para matemáticos, físicos, arquitectos e ingenieros. Gaudí estudio estas superficies en la carrera y posteriormente analizando su entorno natural.
Cabe señalar un estudio realizado sobre los tipos de poliedros estrellados que Gaudí plasmo en las seis constelaciones zodiacales de la fachada del Nacimiento de la Sagrada Familia. Estos poliedros representan estrellas, pero en este estudio se establece una relación de brillo de cada estrella en relación al tipo de poliedro estrellado. Poliedros y estrellas en la Sagrada Familia.
DISEÑO
Las superficies alabeadas con cuerda elástica fueron pensadas desde el primer momento como una familia con dimensiones y acabados similares, con el toque de color para diferenciar claramente cada superficie.
El hiperboloide hiperbólico y el paraboloide hiperbólico se diseñan para que la superficie reglada alabeada se forme a partir de una superficie más sencilla, una superficie cilíndrica en el primer caso y otra plana en el segundo.
Se buscan unas dimensiones que den a las superficies unas proporciones más estéticas; en concreto, las superficies regladas alabeadas tienen 9 cm de diámetro en la base y 12 cm de altura, tapas de 10 cm y altura total 13,2 cm.
DIBUJO
Estos modelos son las únicos de mi colección de instrumentos en las que no hice planos previos, unos simples cróquis sirvieron para planificar el trabajo a realizar, dada la relativa sencillez de los modelos. El dibujo se haría directamente sobre los materiales de construcción del propio modelo.
Se decide colocar las cuerdas elásticas cada 10º, o sea, taladros de una separación de unos 8 mm; por tanto, el hiperboloide hip. y el conoide tendrán 36 cuerdas para definir la superficie, en el caso del paraboloide hiperbólico serán 18 cuerdas.
CONSTRUCCIÓN
Materiales comunes a los tres modelos:
- Tablero DM de 4 mm contrachapado blanco / En paraboloide hip.: Listón de madera de haya de 13 x 13 mm
- Pegamento imedio o supergen o … para pegar algunas piezas de DM contrachapado
- Pintura blanca sobre imprimación para cantos de piezas circulares de DM y listones
- Cordel elástico de 1 mm de diferentes colores
Máquina-herramienta: Sierra de calar estacionaria Dremel Moto Saw
HIPERBOLIDE HIPERBÓLICO
Esta fue la primera pieza que realicé. En concreto un hiperboloide hiperbólico de revolución, que se puede entender como la superficie engendrada por una generatriz que gira alrededor de un eje no paralelo ni perpendicular a ella, o como el giro de una hipérbola alrededor de dicho eje.
En primer lugar hice un tanteo rápido con un modelo con las bases circulares en cartón pluma, haciendo los agujeros muy rápido con un clavo. La columna interior era un trozo del interior de cartón del papel de aluminio que utilizamos en la cocina. Este modelo me sirvió para perfeccionar algunos detalles.
Después de dibujar las tapas y la posición de los agujeros, para mayor comodidad, se pueden taladrar primero los agujeros y posteriormente cortar las bases con la sierra de calar. Se cortan también dos arandelas, una que hará de base inferior del modelo y otra que servirá para mantener la tapa superior en la posición correcta al realizar el giro para pasar de la superficie cilíndrica al hiperboloide hip..
El siguiente paso es pintar de blanco los cantos de estas piezas con una imprimación previa.
Existen modelos parecidos que también consiguen el hiperboloide hip. a partir del cilindro, pero como en todos los instrumentos que realizo intento buscar una solución personal y no limitarme a copiar algo ya realizado.
Las tapas se separan por un listón cilíndrico (columna) de madera de haya de diámetro 18 mm, esta columna se fija a la tapa inferior por medio de un tornillo (la cabeza queda en el hueco de la arandela. Otra arandela se pega a la tapa superior, ésta tiene dos orificios para encajar una clavija de alambre de 1,5 mm que mantiene el modelo en la posición deseada. La columna tendrá dos posiciones de orificios: una para mantener el modelo de superficie cilíndrica y otra posición girada 135º para mantener firme el hiperboloide hiperbólico. Otras posiciones del hiperboloide se pueden realizar manteniendo firme las dos tapas manualmente.
Se dispone la cuerda elástica tensándola convenientemente.
CONOIDE
El conoide en vez de una tapa superior tiene un travesaño que con el poste forma una T de una sola pieza también de tablero DM de 4 mm. El poste (16 x 4mm) por su espesor no se puede atornillar como la columna en el hiperboloide hip., tampoco interesa pegarlo directamente ya que la cuerda elástica acabaría despegándolo; por tanto, se continúa a través de una ranura en la tapa inferior y se pegan pequeñas piezas a los lados para mantenerlo en su posición (dentro de la parte interior de la arandela inferior).
PARABOLOIDE HIPERBÓLICO
Se cortan los listones de haya con un largo de 15 cm, se realizan los taladros correspondientes para la cuerda elástica. Se realiza el taladro central para el eje de latón de 5 mmm de diámetro. Se pintan los listones de blanco con una imprimación previa. Posteriormente se dispone la cuerda elástica.
Se hace una base de tablero aglomerado de 16 mm chapado en blanco y se cantea, se realizan escuadras metálicas formando un ángulo de 45º y se atornillan al tablero. Por último se mantiene firme el paraboloide hiperbólico mediante pinzas de sujeción.
Se hicieron algunas pruebas con imanes de neodimio para mantener el paraboloide hip. en su sitio, pero la fuerza ejercida por la cuerda elástica en el extremo del listón separado de la escuadra requiere imanes grandes, por tanto, se descarta esta idea.
USO
Video ………………………………………………………………………………………………..
Se puede ver la generación de estas superficies regladas alabeadas a partir de otras más sencillas.
Los campos de aplicación son muy amplios: en matemáticas, arquitectura, ingeniería,…, pero este sitio web está relacionada con el mundo de la astronomía, así que veamos algún uso interesante adentrándonos incluso en el campo de la cosmologia.
Las secciones cónicas están presentes en estas superficies sobre todo en el hiperboloide hiperbólico, en él que podemos observar todas ellas al igual que en el cono. La parábola, en este caso, se conseguirá con el plano paralelo a una de las asíntotas de una hipérbola de contorno, siendo el plano además perpendicular al de la hipérbola mencionada.
El conoide permite fijarse en el tema de la excentricidad de la elipse: desde la sección de la base circular con e=0, ésta va creciendo según vamos haciendo cortes paralelos hacia arriba con e<1.
Comentar también que las órbitas cónicas no están estáticas, van sufriendo una ligera precesión en el periastro, efecto contemplado en la mecánica newtoniana debido a las influencias gravitatorias de todos los astros del entorno. El planeta con más precesión del perihelio era Mercurio, pero además presentaba una anomalía con un valor más elevado,por lo cual, en el siglo XIX hizo pensar que tenía que haber un planeta interior sin descubrir que lo perturbaba; pero Einstein, en la teoría de la relatividad general, encontraría las nuevas ecuaciones que explicaban este fenómeno, más presente en zonas más intensas del campo gravitatorio y, por tanto, con mayor curvatura del espacio-tiempo.
Las órbitas cónicas, en realidad, son las trayectorias de “mínimo esfuerzo” (geodésicas tetradimensionales) seguidas por un cuerpo (con una velocidad variable) que surca el campo gravitatorio dinámico que un cuerpo más másivo crea en el espacio-tiempo (1915 Teoría de la relatividad general de Einstein). Lógicamente todo ello matizado por las influencias gravitatorias de otros cuerpos.
El paraboloide hiperbólico aparece también como uno de los ejemplos de las tres posibilidades de la curvatura conjunta de nuestro universo en expansión en el espacio-tiempo (la forma del universo). La curvatura influye además en la posible evolución del universo. En el modelo FLRW (Friedmann, Lemaître, Robertson y Walker), el universo puede adoptar las siguientes curvaturas que conllevaran una determinada evolución del mismo:
- Curvatura positiva: asimilable a una superficie esférica, geometría esférica o cerrada ya que las ecuaciones del modelo FLRW predicen que el universo llegará un momento que dejará de expandirse y empezará a contraerse.
- Curvatura nula: asimilable a una superficie plana en la que el universo se expande desacelerándose.
- Curvatura negativa: asimilable a una superficie de un paraboloide hiperbólico (silla de montar), geometría hiperbólica o abierta lo que implica que el universo se expande acelerándose.
En los años 90 se realizaron observaciones de supernovas muy lejanas que indican que el universo se está acelerando, pero mediciones recientes de la curvatura en nuestro universo observable dan un valor prácticamente nulo a dicha curvatura, y ahí es donde aparece la energía oscura para adaptar el modelo FLRW a las observaciones. Tendríamos, por tanto, un universo plano (de curvatura nula) pero que se está acelerando gracias a la energía oscura que todavía desconocemos. Pero muestro universo está compuesto de materia normal y materia oscura que también desconocemos, ¿podrá ésta invertir esa aceleración?. Desconocemos mucho más de lo que conocemos.
Os dejo un enlace a un vídeo sobre como evolucionará nuestro universo hacia un universo frío, oscuro e inerte en el que el tiempo ya no tendrá sentido:
Anticiteras y Astrolabios 
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