INTRODUCCIÓN
Antes de intentar reproducir el mecanismo de Anticitera (II o I a. C.) con mayor complejidad (más de 30 ruedas dentadas) decidí afrontar el segundo mecanismo calendárico más antiguo conservado, su fecha estimada por el estilo de escritura se sitúa entre finales del siglo V y la primera mitad del VI. La complejidad (de 8 a 10 ruedas dentadas) y uso de este instrumento es similar a mecanismos calendáricos que aparecerán en la edad de oro del islam.
Se han conservado 4 fragmentos de este instrumento portátil bizantino adquiridos por el Museo de Ciencias de Londres en 1983. El instrumento se compondría de un reloj de sol y un mecanismo calendárico.
Se conservan cuatro piezas de latón bajo en zinc, un colgadero, dos ruedas dentadas dobles con dientes triangulares (de 2 mm de espesor cada parte) y un disco de 135 mm en el que están grabadas en griego antiguo los siguientes elementos:
- Se indican 16 latitudes de ciudades del imperio romano de oriente. Una escala graduada de 0º a 90º para marcar con el índice del colgadero del que se suspendería el disco. También una escala con meses. Otros instrumentos conservados de época romana, concretamente del siglo III, atestiguan inscripciones similares para un uso como reloj de sol. Se utiliza el sistema de numeración griego antiguo que utiliza las letras del alfabeto para designar números.
- Los dioses planetarios asociados con los días de la semana. El piñón trinquete (de 7 dientes) encaja en el centro de este dial.
El piñón trinquete mueve la rueda dentada de 59 dientes, número que se asocia a dos ciclos de fases lunares. La fase lunar se puede representar tanto gráficamente como numéricamente (números 1 a 29 y 1 a 30 al lado de los dientes); este sistema fue descrito posteriormente por el astrónomo Al-Biruni alrededor del año 1000 y se conserva en un astrolabio persa del siglo XIII.
Estas dos piezas tienen asociadas otras ruedas dentadas que indican un sistema incompleto de un calendario mecánico, por tanto, el instrumento estaría formado por trenes de engranajes compuestos. Con toda probabilidad se indicarían la posición del Sol y la Luna respecto al zodíaco, posiciones ya indicadas en el mecanismo más complejo de Anticitera y en las dos referencias islámicas mencionadas.
Estamos ante un instrumento portátil de medición de tiempo. Medición de tiempo corto, reloj de sol universal (cualquier latitud), que indica la hora de una manera aproximada. Medición de tiempo largo de manera bastante exacta (día de la semana y de fase lunar, meses por movimiento anual del Sol sobre el zodíaco y también la posición de la Luna). Su uso principal es como calendario astronómico, pero también podría utilizarse con fines astrológicos.
DISEÑO
El punto de partida fue la publicación “Byzantine and arabic mathematical gearing” de J. V. Field, D. R. Hill y M. T. Wright en Annals of Science 42 de 1985 que conseguí comprar por internet treinta años después. El apartado de reconstrucción del instrumento bizantino no lo quise leer hasta diseñar una solución propia de los engranajes como un reto matemático y de resolución geométrica.
El objetivo propuesto fue calcular y diseñar los engranajes que faltaban para posteriormente modelar con un software de CAD 3D todas las piezas para poder imprimirlas con una impresora 3D.
El primer paso fue definir el engrane de dientes triangulares de las ruedas dentadas. La altura de dientes era de 2,3 mm. Se decide adoptar una separación de engrane de 0,7 mm teniendo en cuenta que las piezas impresas en 3D puedan tener un margen de hasta 0,5 mm más que el diámetro teórico. La separación elegida da un diámetro primitivo (o de paso) igual al diámetro interior + 3 mm. Por tanto, la separación de ejes será: Ri1 + Ri2 + 3 mm. Posteriormente se comprueba que la separación elegida funciona correctamente en un modelo de cartón.
A partir de aquí se trabaja con los diámetros primitivos, calculando el número de dientes de los engranajes que faltan, para adecuarse a los ciclos celestes que faltarían; la posición de la Luna y el Sol respecto al zodíaco.
En los dos ejemplos islámicos podemos observar dos posibles soluciones a la posición de la Luna y el Sol respecto a la banda del zodíaco:
- En un tratado del siglo XI de Al-Biruni aparece (entre otros instrumentos) “La caja de la Luna”, instrumento que se hacía en su época sin citar su inventor. Se disponen dos diales independientes para las posiciones de la Luna y el Sol. Utiliza 5 piezas con un total de 8 ruedas dentadas
- En el astrolabio persa con mecanismo calendárico de Abu Bakr del siglo XIII se disponen los movimientos de Luna y Sol de manera concéntrica respecto a un un único dial del zodíaco.
Es sabido que en el siglo IX eruditos árabes fueron enviados a territorio bizantino a recopilar manuscritos, por tanto, “La caja de la Luna” estaría inspirada en instrumentos bizantinos que así mismo “bebieron” del mundo helénico. M. T. Wright en su reconstrucción adopta el modelo de Al-Biruni de dos diales, aunque también se plantea el de un dial.
Al-Biruni también dice que en su época se construyen diferentes modelos con distintos números de dientes e incluso de ruedas dentadas, estos modelos que describe eran con dos diales; pero tampoco sabemos si hubo otras “cajas de la Luna” en época bizantina con un único dial (no supone mucha mayor complicación, tan sólo añadir por ejemplo dos ruedas dentadas y sobretodo teniendo en cuenta que en la antigüedad se hizo un instrumento como el de Anticitera). Yo adoptaré en la reconstrucción el modelo de un único dial del astrolabio persa, aunque la solución de Wright es más segura. Por tanto, la posición de Luna y Sol se resuelven con movimientos concéntricos.
Otro tema es la disposición de los signos del zodíaco en la banda del zodíaco, M. T. Wright los coloca en sentido horario pero mi opinión es que deberían tener un giro antihorario (como corresponde al movimiento aparente de la Luna y el Sol en su desplazamiento por la banda del zodíaco).
A continuación, se puede observar la disposición del zodíaco en la antigüedad tardía; arriba a la izquierda Aries y en sentido antihorario tenemos: Tauro, Géminis, Cáncer, Leo, Virgo, Libra, Scorpio, Sagitario, Capricornio, Acuario y Piscis.
Los trenes de engranajes están compuestos de ruedas dentadas simples y dobles colocadas en tres niveles. Los círculos azules corresponden a las ruedas dentadas del nivel superior, las rojas al nivel intermedio y las verdes al nivel inferior. La rueda superior en azul también llega al nivel intermedio (tiene doble espesor igual a 4 mm).
Entre paréntesis se indican los dientes de las ruedas dentadas ”locas” que sirven para cambiar el sentido de giro y también para poder alcanzar otras ruedas. La posición de Luna y Sol respecto al zodíaco se representan con un símbolo al igual que el astrolabio calendárico islámico del siglo XIII.
Año trópico
El año trópico se calcula en relación al mes sinódico (lunación) disponiendo el número de dientes adecuado en el tren de engranajes común.
Al-Biruni en su tratado utiliza un valor de 366,42 días (59 x 59/19 x 48/24)con un error de 1,18 días. Abu Bakr en su astrolabio con mecanismo calendárico no utiliza el año trópico sino el año hegiral de 354 días (12 lunaciones). Wright vi posteriormente que da una aproximación más precisa de 365,18 días (59 x60/19 x 49/25) para el año trópico (error es de 0,06 días).
Yo jugando con los números encontré una relación exacta (con dos decimales) al año trópico de 365,24 días. Esto se consigue con el siguiente número de dientes: 59 x 65/21 x 48/24 (los dientes 48 y 24 se pueden cambiar por otros que esten en proporción 2). El problema es que en el instrumento bizantino partimos de la rueda de fase lunar conservada que tiene 59 dientes arriba y 19 abajo; por tanto, tenemos que utilizar ese número 19 en los cálculos. Teniendo en cuenta que los griegos conocían el ciclo metónico que relaciona 235 lunaciones con 19 años, vemos la importancia de ese número 19 que se refleja en los 19 dientes de una de las ruedas dentadas (también en Al-Biruni y en el dado por Wright). Por tanto se utilizará la rueda de 19 y además 235 = 5 x 47, con lo cual dispondré de otra rueda de 47 dientes y otras dos en proporción 5/2 (debido a 2 lunaciones marcadas en la rueda) = 2,5. Se elige una rueda grande de 60 dientes y otra de 24 en relación 2,5, por último se utiliza una rueda loca también grande (60 dientes) para alcanzar la zona común de posiciones de Luna y Sol en el zodíaco; el resultado es 364,87 días (59 x 60/19 x47/24) con un error de 0,37 días. El error que se obtiene es de 1 ‰ en concordancia con el de fase lunar, por tanto, fue el que decidí utilizar.
Una explicación en 3D del número de dientes utilizado en las diferentes ruedas dentadas, se detalla en: ciclos celestes del Mecanismo bizantino transparente.
DIBUJO 2D Y 3D
Se utiliza el programa Autocad (software gratuito para uso educativo) para realizar el dibujo y cálculo geométrico en 2D y posteriormente en 3D.
Se dibujan todos los engranajes y se detallan los pivotes o ejes que giran insertados en los cojinetes (forma de anillo). También se diseña el gatillo para retener la rueda del trinquete.
Se presta especial atención a la sección para completar el diseño de las piezas. Se deja un margen de 0,6 mm debido a que unas ruedas giran sobre otras.
Se decide cambiar de una representación plana (con su símbolo) de la Luna y el Sol a representarlos con una esferita de 4 mm, añadiendo otra para la Tierra en el centro. Este pequeño universo geocéntrico con bolitas responde unicamente a un gusto personal; seguramente fuera más probable para un dispositivo portátil la solución de los símbolos dibujados. Otra opción es la de la reconstrucción de M. T. Wright en la que utiliza dos diales separados para la Luna y el Sol, aunque lo que no me convence es que los signos del zodíaco se colocan en sentido horario.
La siguiente fase consiste en modelar todas las piezas en 3D. También se dan diferentes acabados que ayudan a comprender mejor el funcionamiento del instrumento.
En la cara posterior se puede observar unos cilindros salientes que limitan el giro del colgadero a sus 90º de uso; aunque posteriormente decidí no hacerlos.
Posteriormente se generará una exportación de cada pieza a un archivo stl. Este archivo contiene unicamente la información de la geometría del sólido 3D de cada pieza. Estos archivos serán la base para poder luego hacer luego la impresión 3D.
CONSTRUCCIÓN
PIEZAS IMPRESAS EN 3D
La empresa Lupeon me imprimió las piezas utilizando dos técnicas distintas:
- Los engranajes y piezas más complejas se imprimieron con el material VeroBlue en alta resolución (tecnología de inyección de resina curada por ultravioleta).
- La carcasa y la tapa se imprimieron en plástico ABS dorado por FDM (modelado por deposición fundida).
HERRAJES, LIJADO, PINTADO, ADHESIVOS IMPRESOS, MONTAJE
Algunas piezas metálicas, como arandelas o argollas son añadidas al instrumento. Se lijan algunas piezas que no encajan perfectamente o en las que es preciso un giro con más holgura. A continuación se pintan en dorado las piezas de VeroBlue que van a quedar vistas al exterior. Se elaboran en CAD 2D las rotulaciones de lugares, latitudes, meses y la representación de los dioses planetarios; posteriormente se imprimen en papel adhesivo transparente. Por último se realizo el montaje de todas las piezas funcionando todo correctamente.
Trinquete
El gatillo (que impide girar en sentido opuesto la rueda del trinquete) se diseño originalmente en plástico, pero al poco tiempo de uso se rompió, después del susto fue sustituido por un gatillo metálico (sujeto con un tornillo pequeño a la carcasa del instrumento).
RESTAURACIÓN 2020
Piezas sustituidas
Pasado algún tiempo el piñón trinquete impreso en resina mostraba cierta descomposición de los dientes de la rueda dentada de 10 impidiendo el buen funcionamiento del mecanismo; esta pieza sería sustituida por otra realizada en dos partes por impresión 3D estándar FDM con plástico PLA. Más detalle aquí.
Al colgar el instrumento de un gancho se observó que la pieza colgadero, también impresa en resina se doblaba demasiado; por tanto, se decide sustituir por otra realizada en PLA que es más rígida. Se dispuso la pieza con el material de soporte mínimo para su fácil retirada y con la ventaja de poder lijar al llevar un pintado posterior.
Peana y soporte añadidos
Se diseña una peana de 16 cm de largo, 8 cm de fondo y 4 cm de altura con una hendidura para insertar un soporte para el instrumento. Se dibuja en 3D en Sketchup, se definen parámetros de impresión en Cura y luego se imprime con la Ender 5. Dado que la aristas superiores están suavizadas se adopta una altura de capa variable empezando abajo con 0,25 y rematando arriba con 0,1.
Se dobla una varilla maciza de latón de 4 mm para que sirva de soporte al instrumento y se inserta en el agujero (sin pegar para poder trasladar más cómodamente el instrumento si es necesario). Se valoró meter un peso muerto en el interior de la peana debido al momento que produce el peso desplazado del aparato, pero al final con un relleno de un 30 % fue suficiente.
Posteriormente se diseña la rotulación y se imprime en papel adhesivo dorado mate.
USO
RELOJ DE SOL
En la cara frontal del instrumento tenemos el reloj de sol universal que podemos utilizar en diversas latitudes.
Mapa – Latitudes
A continuación se indican en un mapa los 16 lugares registrados en el instrumento sobre un mapa base del imperio bizantino en el siglo VI.
Numeración griega
Se indican las letras griegas usadas en el instrumento (mayúsculas en aquella época, letra uncial) correspondientes al sistema de numeración griego y su correspondencia con su valor en el sistema decimal posicional. Este sistema es utilizado en las latitudes y en la indicación del día de fase lunar.
Procedimiento de uso
Este reloj está diseñado para marcar únicamente horas de la mañana. El diseño del disco tiene la escala graduada de latitudes y los meses indicados de tal forma que nos indican que este es el resultado de una proyección ortogonal de la esfera celeste vista desde el punto cardinal Este.
Para averiguar la hora tendremos que realizar las siguientes operaciones:
- Se ajusta a la fecha correspondiente en la escala de meses (ángulo de declinación para esa fecha)
-
También se ajusta el índice de la pieza colgadero a la latitud del lugar
- Se orienta el frontal del instrumento hacia el este y se suspende por el colgadero.
- Orientar el reloj de sol hacia el sol (girar manteniéndolo suspendido) hasta que veamos la sombra del gnomón sobre las marcas de las horas temporarias.
- Se lee la hora temporaria diurna teniendo en cuenta que la marca más próxima al gnomón sería la primera hora temporaria y así hasta la sexta hora temporaria que sería donde remata la superficie curva donde se produce el mediodía.
El reloj de sol nos dará la hora exacta si la fecha es la de un equinoccio o en fechas muy próximas, en cualquier momento del día, manteniéndolo orientado al este sin necesidad de girarlo (el plano del ecuador y el reloj de sol coinciden en un mismo plano, por eso las marcas horarias se sitúan a 15º desde el extremo del gnomón).
En otras fechas el reloj de sol nos dará la hora temporaria de una manera aproximada.
MECANISMO CALENDÁRICO
El mecanismo calendárico se activa cada día al mover el índice o apuntador del día de la semana en la cara frontal. Este giro se realiza en sentido horario, impidiendo el trinquete su giro en sentido inverso. El mecanismo mostrará además del día de la semana, la edad lunar y la representación gráfica de su fase, así como las posiciones de Luna y Sol respecto a la eclíptica.
Dioses planetarios
A continuación se muestra la correspondencia entre los dioses planetarios que aparecen en el dial del instrumento y los días de la semana.
Fase lunar y posición de Luna y Sol
Al mover cada día el índice del día de la semana (una sola vez), este gira un piñón trinquete que tiene dos ruedas dentadas en el mismo árbol de transmisión:
- Una con siete dientes que engrana con la rueda de 59 del día de fase lunar y posteriormente con otras para fijar la posición del Sol
- Otra de 10 dientes que engrana con otras para fijar la posición de la Luna
Por tanto, cada día obtenemos:
- Edad lunar (día de fase lunar) dentro de una ventanita rectangular
- Representación gráfica de la fase lunar en la ventana circular
- Posición de la Luna respecto al zodíaco
- Posición del Sol respecto al zodíaco
Podemos ver en la imagen inferior con más detalle el discurrir de Luna y Sol respecto a la banda del zodíaco, dandonos el instrumento una orientación del signo zodiacal en que se encuentra el astro.
El instrumento no contemplaba correcciones debidas a las llamadas anomalía solar o lunar, la diferente velocidad angular del Sol y la Luna en su movimiento por la banda del zodíaco. Kepler demostró que estas desigualdades zodiacales eran debidas a las órbitas elípticas que seguían la Tierra y la Luna. La excentricidad de estas elipses es la siguiente:
- Tierra: e = 0,017
- Luna: e = 0,055
Son valores muy pequeños pero hacen que el número de días que pasa por ejemplo el Sol en un signo del zodíaco (30º de eclíptica) varíe en un año determinado de 29 a 31.5 días (la media uniforme de un año no bisiesto es 30.4). El error acumulado después de 6 meses en el caso pésimo sería de unos tres días de adelanto o retraso en la entrada en el signo zodiacal respecto a la media, o lo que es lo mismo 1/3 de cada subdivisión en 10º de un signo del zodíaco; por tanto, prácticamente inapreciable a la escala en que está dibujado el dial, con lo cual no tendría sentido complicar más el instrumento. Los astrolabios (en general con mayor dimensión) sí hacían la corrección por anomalía solar para ajustar las fechas civiles a los grados de cada signo, también el mecanismo de Anticitera parece haber contemplado la corrección de anomalía solar y lunar.
Después de de un tiempo inactivo o de tres años de uso aproximadamente (tendríamos un error de un día en el comienzo de la fase lunar) habría que ajustar el instrumento. Lo primero sería fijar el día de la semana en el dial correspondiente. En segundo lugar se abriría el instrumento para quitar la rueda de fases de la Luna y volver a colocarla para que el día de fase lunar (que corresponde a ese día en concreto) coincida en la ventanita cuadrada, posteriormente se fijan las posiciones de Luna y Sol en el zodíaco levantando las dos ruedas dentadas correspondientes y volviéndolas a colocar en la posición correcta (primero ajustando la rueda interior de la Luna y luego la exterior del Sol).
El instrumento también lo podríamos usar hoy en día, haciendo la traducción de signos a constelaciones aproximadas (sabemos que la delimitación establecida entre las constelaciones no ocupan 30º exactactamente, varía por cada constelación). También sabemos que por la precesión de los equinoccios, el punto vernal que señala hoy el equinoccio de primavera (antes llamado punto Aries) se ha desplazado aproximadamente 30º en la eclíptica y, por tanto, hoy en día coincide no con Aries sino con Piscis, además esta banda del zodíaco tocaría hoy una 13 constelación que vamos a obviar en correspondencia con el dial de nuestro instrumento. Esto nos daría una idea de donde se encuentran Sol y Luna hoy en día respecto a las doce constelaciones de la banda del zodíaco clásicas.
Ejemplo: podemos tomar para la fecha 05-03-2020 y tomando por ejemplo la hora del mediodía aproximada para nuestra ubicación (en Galicia, 13:30 en horario de invierno y 14:30 en el de verano) los tres datos que necesitamos del programa Stellarium pinchando en el astro y observando los siguientes datos:
• Día de fase lunar: 10 (en la versión de Windows se da directamente, en la de Android se puede calcular a partir del ángulo de fase: (180º-56º44’17’’)/360 x 29,53 = 10,1 días)
• Longitud eclíptica de la Luna: 108º, por tanto, posición de la Luna: 2/3 de Géminis
• Longitud eclíptica del Sol: 345º, por tanto, posición del Sol: Mitad de Acuario
Las posiciones de Luna y Sol se pueden tomar también en relación a la cuadrícula eclíptica (cada 30º tenemos un signo zodiacal) o también nos servirá la cuadrícula ecuatorial.
Fijamos posiciones como hemos comentado y a partir de aquí movemos el apuntador de día de semana una vez por día.
Cabe señalar que la Luna nueva o llena se produce cuando los tres astros, Tierra, Luna y Sol están alineados en este pequeño sistema geocéntrico.
Mecanismo calendárico bizantino transparente impreso en 3D (2020)
Anticiteras y Astrolabios 
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